Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био — Савара—Лапласа (см. (110.2)), пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре:

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн — индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Согласно (120.4), полный магнитный поток через соленоид

(потокосцепление) равен 0(N 2 I/l)S. Подставив это выражение в формулу (126.1), получим

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины l, площади S и магнитной проницаемости  вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.

Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура — аналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды (см. §93).

Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея (см. (123.2)), получим, что э.д.с. самоиндукции

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется (в дальнейшем будет показано, что последнее условие выполняется не всегда), то L=const и

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то

dI/dt>0 и ξs 0, т. е. индукционный

ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

§ 127. Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs=-LdI/dt, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξs/R, или

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I=(R/L)dt. Интегрируя

это уравнение по I (от I до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I)=-Rt/L, или

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где =L/R — постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции

правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR=ξ+ξs, или

Введя новую переменную u=IR-ξ, преобразуем это уравнение к виду du/u=-dt/,

где 1 — время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I=0 и u=. Следовательно, интегрируя по и (от -ξ до IR ξ) и t (от 0 до t).

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где I/R — установившийся ток (при t)

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I=ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации =L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs, возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I=ξ/R. При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I и , получим

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R>>1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

Индуктивность контура — это коэффициент пропорциональности между постоянным током, текущим в заданном замкнутом контуре, и потоком вектора магнитной индукции, создаваемым этим током через поверхность, окружённой этим контуром. Обозначение — , размерность — Гн (генри). Формульно:

  • где
  • Ф — поток вектора магнитной индукции,
  • — индуктивность контура,
  • — сила тока в контуре.

В большинстве задач данный параметр задан в условии, однако есть одна система, в которой данный параметр является расчётным. Это соленоид (рис. 1). Соленоидом называется провод, согнутый в виде спирали (он же, в принципе, катушка индуктивности). Формульно:

  • где
  • — индуктивность соленоида,
  • — относительная магнитная проницаемость среды (табличные данные),
  • м*кг* * ,
  • — число витков,
  • — площадь поперечного сечения витка,
  • — длинна катушки.

Немного о — относительной магнитной проницаемости среды. Чаще всего в школьных задачах соленоид пустотелый, т.е. внутри него (витков) воздух, тогда . Иногда в него помещают сердечник, т.е. болванку формой повторяющую внутреннюю геометрию соленоида, тогда 1" title="displaystyle mu >1" > и по веществу, из которого состоит сердечник, можно в таблицах найти значение магнитной проницаемости.

Для ряда задач существует всё тот же вопрос о параллельном и последовательном соединении индуктивностей. Будем считать, что взаимной индукции нет (т.е. один контур экранирован от второго). Тогда:

  • при параллельном подключении:
  • где
  • — общая индуктивность системы контуров,
  • — сумма обратных индуктивностей, входящих в цепь.

В случае двух элементов, соединённых параллельно:

  • при последовательном подключении:
  • где
  • — общая индуктивность системы контуров,
  • — сумма индуктивностей, входящих в цепь.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна току. Поэтому сцепленный с контуром магнитный поток пропорционален току в контуре:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

Пример: индуктивность длинного соленоида.

Потокосцепление соленоида (полный магнитный поток сквозь соленоид):

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, откуда:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где N — число витков соленоида, l — его длина, S — площадь, μ магнитная проницаемость сердечника.

Индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится.

В этом смысле индуктивность контурааналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды.

32. Самоиндукция.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток, а это, в свою очередь будет индуцировать ЭДС в этом контуре. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Единица индуктивности — генри (Гн): 1Гн — индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в IA равен 1В6 (1Гн=1Вб/А=1В-c/А).

Из закона Фарадея ЭДС самоиндукции

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

.

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не

изменяется, то L = const и ЭДС самоиндукции:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, т.е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание.

Если ток со временем убывает, то

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, т.е. ток самоиндукции имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание.

Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую "инертность".

33. Токи при размыкании и замыкании цепи.

При всяком изменении сипы тока в проводящем контуре возникает ЭДС самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции.

Пусть в цепи сопротивлением R и индуктивностью L под действием внешней ЭДС Θтечет постоянный ток

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

. В момент времени t = 0 выключим источник тока. Возникает ЭДС самоиндукции

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, препятствующая уменьшению тока. Ток в цепи определяется законом Ома

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, или

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

. Разделяем переменные:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, и интегрируем по I (oт

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

до I) и по t (от 0 до t):

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, или

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

(кривая 1)

где

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

постоянная, называемая временем релаксации — время, в течение которого сила тока уменьшается в ераз.

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Таким образом, при выключении источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (а не мгновенно).

Оценим значение ЭДС самоиндукции при мгновенном увеличении сопротивления от

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

до R:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, откуда

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Т.е. при резком размыканииконтура (

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

) ЭДС самоиндукции

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

может во много раз превысить Θ, что может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов.

При замыкании цепи помимо внешней ЭДС Θвозникает ЭДС самоиндукции

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, препятствующая возрастанию тока. По закону Ома,

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

или

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

. Можно показать, что решение этого уравненияимеет вид:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

(кривая 2)

где

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

установившийся ток (при

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

)

Таким образом, при включении источника тока сила тока возрастает по экспоненциальному закону (а не мгновенно).

34. Взаимная индукция.

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Взаимной индукцией называется явление возбуждения ЭДС электро­магнитной индукции в одной электрической цепи при изменении электрического тока в другой цепи или при изменении взаимного расположения этих двух цепей.

Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2 с токами I1 и I2, расположенных достаточно близко друг от друга. При протекании в контуре 1 тока I1 магнитный поток пронизывает второй контур:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, аналогично

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Коэффициенты пропорциональности

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

и

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

равны друг другу

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

и называются взаимной индуктивностью контуров.

При изменении силы тока в одном из контуров, в другом индуцируется ЭДС:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

,

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Взаимная индуктивность контуров зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды.

и током 1^ создает поле Магнитный поток сквозь один

Для примера рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на тороидальный сердечник.

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Первая катушка с числом витков

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

и током

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

создает поле

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

. Магнитный виток второй катушки

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где l— длина сердечника по средней линии.
Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N2 витков:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

. Поскольку поток Ψ создается током

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, то

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Данное устройство является примером трансформатора.

35. Трансформаторы.

Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Переменный ток

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, создает в первичной обмотке переменное магнитное поле. Это вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции. При этом:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

и

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

— число витков в первичной и вторичной обмотках, соответственно.

Отношение

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, показывающее, во сколько раз ЭДС во вторичной обмотке трансформатора больше <или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации.

Если k>1, то трансформатор — повышающий, если к

Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Энергия магнитного поля, связанного с контуром.

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

На примере однородного магнитного поля внутри длинного соленоида выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие это поле в окружающем пространстве.

Индуктивность соленоида:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Отсюда:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

.

Магнитная индукция поля соленоида:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Отсюда:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

.

По определению вектора напряженности магнитного поля

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

.

Используя эти соотношения

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

где Sl=V — объем соленоида.

Магнитное поле длинного соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с объёмной плотностью

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

Эти соотношения носят общий характер и справедливы и для неоднородных полей, но только для сред, для которых связь между

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

и

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

линейная (т.е. для пара- и диамагнетиков).

Выражение для объемной плотности энергии магнитного поля аналогично соответствующему выражению для объемной плотности энергии электростатического поля:

Индуктивность l замкнутого проводящего контура определяется формулой

, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Related Post

Adblock
detector